Konjektur Birch dan Swinnerton-Dyer, Masih Perlu Pembuktian Luas Lebih Lanjut

Konjektur Birch dan Swinnerton-Dyer, Masih Perlu Pembuktian Luas Lebih Lanjut

Ilustrasi / ist

SHNet, Peterborough – Konjektur Birch dan Swinnerton-Dyer dipilih sebagai salah satu dari 7 Millenium Problems yang dinyatakan oleh Clay Mathematics Institute, dan menawarkan hadiah senilai US$ 1.000.000 bagi siapa yang bisa pertama menjawab dengan benar. Konjektur ini dinamai menurut matematikawan Bryan Birch dan Peter Swinnerton-Dyer yang mengembangkan pernyataan terkaan tersebut pada paruh pertama tahun 1960an dengan bantuan perhitungan mesin.

Dalam matematika, Konjektur Birch dan Swinnerton-Dyer (The Birch dan Swinnerton-Dyer Conjecture) menggambarkan serangkaian solusi rasional terhadap persamaan yang mendefinisikan kurva elips. Ini adalah masalah terbuka di bidang teori bilangan dan secara luas diakui sebagai salah satu soal matematika yang paling menantang yang masih belum terpecahkan.

Bryan Birch dan Peter Swinnerton-Dyer / claymath.org

Penyataan dari terkaan tersebut adalah bahwa kurva eliptik memiliki banyak solusi rasional. Jadi, menyelesaikan persamaan seperti itu akan terurai ke satu angka tunggal untuk memberi tahu kita apakah ada banyak solusi tanpa batas atau tak terbatas. Solusi ini terkait dengan perilaku fungsi Zeta yang terkait dengan ukuran kelompok titik rasional pada kurva.

Pada tahun 2017 ini, hanya kasus khusus dari terkaan tersebut yang telah terbukti. Terkaannya sudah didukung oleh bukti eksperimental, namun bukti yang benar masih tersisa untuk diberikan, sehingga menjadikan konjektur ini terpilih sebagai salah satu dari Millennium Prize Problems.

Dalam lamannya situs claymath.org menyatakan bahwa para ahli matematika selalu terpesona oleh masalah penggambaran semua solusi di bilangan bulat x, y, z sampai persamaan aljabar seperti

x2 + y2 = z2

Euclid, seorang ahli matematika kuno dari Aleksandria Mesir yang didapuk sebagai bapak ilmu geometri, telah memberikan solusi lengkap untuk persamaan itu, namun untuk persamaan yang lebih rumit, hal ini menjadi sangat sulit. Memang, pada tahun 1970 Yuri V. Matiyasevich menunjukkan bahwa kesepuluh masalah Hilbert tidak dapat dipecahkan, yaitu, tidak ada metode umum untuk menentukan kapan persamaan tersebut memiliki solusi dalam bilangan bulat.

Baca juga:

Tapi dalam kasus khusus orang bisa berharap bisa menyatakan sesuatu. Bila solusinya adalah titik-titik dari varietas abelian, konjektur Birch dan Swinnerton-Dyer menegaskan bahwa ukuran kelompok titik rasional terkait dengan perilaku fungsi zeta terkait ζ (s) di dekat titik s = 1. Khususnya konjektur yang menakjubkan ini menegaskan bahwa jika ζ (1) sama dengan 0, maka ada sejumlah titik rasional (solusi) yang tak terbatas, dan sebaliknya, jika ζ (1) tidak sama dengan 0, maka hanya ada yang terbatas jumlah poin tersebut. (HNP)